Sujet : la conjecture de Syracuse | |  Posté le 27-05-2005 à 16:56:34
| Le problème de la conjecture de Syracuse, également connue sous les noms de problème de Collatz, Kakutani, ou Ulam, se présente ainsi:
On se donne un entier naturel n plus grand que 1. S'il est pair,
on le divise par deux, s'il est impair, on le multiplie par 3 et on
lui ajoute 1 (ce qui revient à lui appliquer la fonction x |-> 3x+1).
On "conjecture" que l'on finit toujours par trouver la valeur 1 au
fil des calculs, valeur à partir de laquelle on restera bloqué dans
le cycle 1-4-2-1-...
Cependant, le fait que l'on retrouve toujours 1 n'a pas été démontré
et même si on est presque sûr que cela est vrai, quel que soit
l'entier n choisi au départ, il n'est pas exclu qu'il existe un
entier n ne vérifiant pas cette propriété, d'où le nom de :
"conjecture" de Syracuse.
Depuis plusieurs dizaines d'années, ce problème est activement
étudié par les mathématiciens, mais n'a pas encore été résolu.
Message édité le 27-05-2005 à 16:58:00 par lepereboniface |
| | Posté le 27-05-2005 à 17:06:08
| Comme souvent, les mathématiciens, en travaillant sur ce problème,
ont senti que certaines idées étaient récurrentes et ont introduit un
vocabulaire adapté pour décrire les phénomènes étudiées.
Imaginons que l'on vérifie la propriété pour n=15. On obtient :
46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
On appelle cette suite finie d'entiers le VOL, ou la TRAJECTOIRE de
15. Il faut imaginer une représentation de cette suite sur un
graphique, l'axe des abscisses figurant l'indice de chaque entier
dans la suite, l'axe des ordonnées indiquant l'entier correspondant.
On appelle ETAPE, un nombre de cette suite finie. Ici, par exemple,
80 est une étape du vol de 15.
Si la conjecture est vraie, on remarque que la suite atteint une
étape maximale, appelé ALTITUDE MAXIMALE du vol. Ici, l'altitude
maximale était 160.
On définit également la DUREE de chaque vol comme le nombre d'étapes à franchir avant d'arriver pour la première fois au chiffre 1, et la durée de VOL EN ALTITUDE comme la durée entre le moment où le vol commence, et celui où il repasse sous sa valeur initiale.
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| | Posté le 27-05-2005 à 17:13:55
| C'est à T. Oliveira e Silva que l'on doit les records les plus
récents et les plus significatifs. Les records suivants proviennent
de sa page web :
Le plus grand nombre testé est : 77 * 2^50 = 86694292826882048.
La conjecture a été vérifiée par deux fois avec des ordinateurs
jusqu'à n = 2^51 = 2251799813685248.
Le record de l'altitude maximale est tenu par le vol
82450591202377887, qui atteint l'entier :
875612750096198197075499421245450.
D'autres records, datant de 1998 et sans doute améliorés depuis :
Celui de vol de durée record en vol est celui du vol
100759293214567, de durée 1820 (c'est assez faible, on aurait pu
croire que des entiers résisteraient plus).
Enfin celui de durée en altitude record est le vol 70665924117439,
dont la durée en altitude est de 1177 étapes.
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