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| lepereboniface | | raison et compassion |  | | 501 messages postés |
|  Posté le 24-05-2005 à 00:25:08   
| Cantor a introduit la notion de nombre 'transfini' à partir de la distinction entre ensemble denombrable et non-denombrable.
Ainsi N, l'ensemble des entiers naturels, est dénombrable ainsi que
Z ( relatifs) ou Q( rationnels). Le cardinal de N ( card(N) ) est alors appelé Aleph0.
Le cardinal de R est appelé Aleph1, R étant non-denombrable c'est dire qu'il ne peut etre mis en bijection avec N, ou puissance du cotinu.
On a alors card(N) < card(R) ou Aleph0 < Aleph1.
L'ensemble des parties de N étant noté Parties(N), que pensez vous
du cardinal de cet ensemble, card(Parties(N))?
Eh bien card(Parties(N))=card(R) , c'est Cantor qui l'a démontré, je ne sais pas comment il s'y est pris! Est-ce que vous avez une idée sur la demonstration?
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L'Imam |
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| Atil |  | | 35309 messages postés |
| Posté le 24-05-2005 à 07:38:15 
| Il me semble qu j'avais lu un article la-dessus ... mais je ne n'y avais strictement rien compris. Je suis trop nul en math.
Je vais demander à d'autres personnes ....
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...à mon humble avis.
#Atil |
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| lepereboniface | | raison et compassion | | | 501 messages postés |
| Posté le 25-05-2005 à 00:02:05
| Je vais chercher aussi.
Les cardinaux transfinis, des nombres qu'il est trés difficile d'imaginer puisque nous parlons tout d'abord de grandeurs infinies, apportent un eclairage nouveau sur la notiom de l'infini et la comparaison entre nombres infinis.
Ainsi card(N) = card(Z) = card(Q) pour les ensemble dénombrables ce qui est deja remarquable ( si on dit que N est inclut dans Z lui meme inclut dans Q, nous parlons d'inclusion au sens large entre ensemble infinis ) .
Si on admet que card(R)= card(PArties(N)) ou Aleph1
card(R)=card(R*R)=card(R*....*R)
C'est à dire que R peut etre mis en bijection avec R*R*...*R ( n fois)!!
Et que dire de Aleph2= card( Parties(R)) ?
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| Atil | | | 35309 messages postés |
| Posté le 25-05-2005 à 07:34:13
| Il y a certains trucs mathématiques qui sont durs à avaler.
Parfois on se demande si les démonstrations sont bien valables tellement le résultat choque le sens commun.
Par exemple, il me semble que le nombre d'éléments de l'ensemble des nombres impairs est égal à celui de l'ensemble des nombres réels (et non pas égal à la moitier comme on pourrait le croire).
Si j'ai dit une connerie, qu'on me le signale.
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...à mon humble avis.
#Atil |
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| disciple |  | | 341 messages postés |
| Posté le 25-05-2005 à 12:45:10
| Peut-on dire alors que Aleph2 = Aleph1 puisque
card(R)=card(R*R)=card(R* (N fois) *R) et qu'on peut "bijecter" R sur sa puissance ?
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| lepereboniface | | raison et compassion | | | 501 messages postés |
| Posté le 26-05-2005 à 16:53:15
| Atil a écrit :
Il y a certains trucs mathématiques qui sont durs à avaler.
Parfois on se demande si les démonstrations sont bien valables tellement le résultat choque le sens commun.
Par exemple, il me semble que le nombre d'éléments de l'ensemble des nombres impairs est égal à celui de l'ensemble des nombres réels (et non pas égal à la moitier comme on pourrait le croire).
Si j'ai dit une connerie, qu'on me le signale. |
Effectivement on peut mettre en bijection l'ensemble des entiers pairs ou impairs avec l'ensemble des entiers N et non l'ensemble des reels R:
0 1 2 3 4 5 6 .....
0 2 4 6 8 10 12 ....
Et cela est possible en raison de la notion d'infini, en effet on ne peut pas dire "qu'un ensemble infini est plus infini qu'un autre ensemble infini" ( encore que la aussi certains modeles mathematiques introduisent des concepts aussi deroutants que l'adherence d'un ensemble qui comprend "les bornes infinies" ).
Par contre l'ensemble des parties d'un ensemble contient forcement l'ensemble de départ: R contient N.
Et donc Parties(R) ou bien Aleph2 contient R ou Aleph1.
Mais deja imaginer ce qu'est Aleph2 est tres difficile puisqu'il contient R et toutes les pissances de R ( R*R*...*R).
On pourrait parler de dimensions de puissances du continu:
la premiere dimension serait Aleph1, puis Aleph2 etc...
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| Atil | | | 35309 messages postés |
| Posté le 26-05-2005 à 17:16:48
| Tout se passe comme s'il y avait plusieurs infinis !
Un peu, symboliquement, comme dans un paysage on peut voir plein de points à l'infini dans l'espace.
Se pourrait-il qu'il existe une dimension (ou monde) mathémathique tout comme il existe des dimensions (ou mondes) spaciales ?
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...à mon humble avis.
#Atil |
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| lepereboniface | | raison et compassion | | | 501 messages postés |
| Posté le 27-05-2005 à 02:17:36
| A la question:
card(Parties(N))=card(R) Est-ce que vous avez une idée sur la demonstration?
J'ai trouvé cette réponse trés plausible:
C'est à dire que Aleph1=card(R) est une conjecture !!
Message édité le 27-05-2005 à 02:19:59 par lepereboniface
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L'Imam |
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| Verdad |  | | 4252 messages postés |
| Posté le 27-05-2005 à 06:29:34
| Sans déc'???
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Le jour où je voudrais de la crotte d'âne, je saurai à quel derrière accrocher mon panier.
F. Dard |
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| Atil | | | 35309 messages postés |
| Posté le 27-05-2005 à 08:16:54
| Autrement dit :
Il existe plusieurs mathématiques possibles, selon qu'on part du fait que l'hypothèse du continu est vraie ou fausse.
Tout comme on peut créer plusieurs univers géométriques selon qu'on part de la conjoncture que par un point extérieur à une droite on peux faire passer une seule, une infinité ou aucune parallèle à cette droite.
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...à mon humble avis.
#Atil |
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| GrosRatNoir | | 127 messages postés |
| Posté le 19-06-2005 à 15:46:14
| Atil a écrit :
Autrement dit :
Il existe plusieurs mathématiques possibles, selon qu'on part du fait que l'hypothèse du continu est vraie ou fausse.
Tout comme on peut créer plusieurs univers géométriques selon qu'on part de la conjoncture que par un point extérieur à une droite on peux faire passer une seule, une infinité ou aucune parallèle à cette droite. |
Heureusement, l'hypothèse du continu n'influence pas le domaine dans lequel elle est formulée (théorie des ensembles). En fait, que cette hypothèse soit vraie ou pas, cela ne change pas le reste.
Enfin, il me semble un peu trompeur de dire qu'on peut construire plusieurs géométries selon que l'on accepte l'axiome de l'unique parallèle à une droite en un point (un axiome d'Euclide). Il y a la géométrie plate (qui est celle d'Euclide avec l'axiome ci-dessus), et il y a la géométrie courbe, ou géométrie à courbure. Cette dernière n'est pas opposée à la géométrie plate, elle la généralise : en effet, la géométrie plate, ce n'est qu'une géométrie courbe, de courbure nulle.
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| Atil | | | 35309 messages postés |
| Posté le 19-06-2005 à 19:20:06
| Les différentes sortes de géométries (planes, elliptiques, hyperboliques) sont des cas particuliers à l'intérieur d'une géométrie plus générale.
Ne peut-on pas en dire de même des maths ?
Il existeraient plusieurs systèmes mathématiques qui ne seraient que des cas particuliers dans un système mathématiques plus général ?
Donc les maths avec et sans l'axiome du choix pourraient être englobées dans un système plus vastes ?
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...à mon humble avis.
#Atil |
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| GrosRatNoir | | 127 messages postés |
| Posté le 19-06-2005 à 19:42:01
| Atil a écrit :
Il existeraient plusieurs systèmes mathématiques qui ne seraient que des cas particuliers dans un système mathématiques plus général ? |
Ben les maths ne sont pas figées, elles évoluent (la recherche existe) ... et c'est bien dans le but (notamment) de généraliser les maths actuelles.
Donc : probablement que oui.
Néanmoins, ce n'est pas si évident si on s'attaque aux axiomes des fondements des maths (comme l'axiome du choix), car ces axiomes déterminent la forme des démonstrations autorisées.
Plusieurs systèmes peuvent traiter de choses différentes et peuvent être mis dans une relation d'inclusion (« un des systèmes généralise l'autre ») à condition qu'ils soient "compatibles", càd qu'ils utilisent la même démarche dans les démonstrations.
Or, rejeter l'axiome du choix, c'est déjà rejeter toutes les démonstrations d'existence ("il existe ..." et ça, à mon avis, ça ne permettra pas de construire un système compatible avec un autre qui aurait accepté cet axiome.
Donc dans ce cas-là : non, pas possible d'en faire des cas particuliers d'une théorie plus générale.
Message édité le 19-06-2005 à 19:45:08 par GrosRatNoir
Message édité le 19-06-2005 à 19:45:54 par GrosRatNoir |
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| GrosRatNoir | | 127 messages postés |
| Posté le 19-06-2005 à 19:46:15
| Atil a écrit :
Il existeraient plusieurs systèmes mathématiques qui ne seraient que des cas particuliers dans un système mathématiques plus général ? |
Ben les maths ne sont pas figées, elles évoluent (la recherche existe) ... et c'est bien dans le but (notamment) de généraliser les maths actuelles.
Donc : probablement que oui.
Néanmoins, ce n'est pas si évident si on s'attaque aux axiomes des fondements des maths (comme l'axiome du choix), car ces axiomes déterminent la forme des démonstrations autorisées.
Plusieurs systèmes peuvent traiter de choses différentes et peuvent être mis dans une relation d'inclusion (« un des systèmes généralise l'autre ») à condition qu'ils soient "compatibles", càd qu'ils utilisent la même démarche dans les démonstrations.
Or, rejeter l'axiome du choix, c'est déjà rejeter toutes les démonstrations d'existence (« il existe ... ») et ça, à mon avis, ça ne permettra pas de construire un système compatible avec un autre qui aurait accepté cet axiome.
Donc dans ce cas-là : non, pas possible d'en faire des cas particuliers d'une théorie plus générale.
Message édité le 19-06-2005 à 19:46:48 par GrosRatNoir |
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| Atil | | | 35309 messages postés |
| Posté le 19-06-2005 à 22:39:40
| Ou alors il existerait plusieurs mondes mathématiques séparés tout comme il existe des planètes séparées dans l'espace.
Mais les planètes, même si elles sont indépendantes les une des autres, "flottent" dans un même espace-temps.
Des mondes mathématiques indépendants pourraient-ils "flotter" dans une sorte d'"espace logique" ?
Aprés tout les systèmes avec et les systèmes sans axiome de choix restent quand même des systèmes ayant une certaine logique.
Je dirai même que la logique peut ne pas s'occuper des existances mais seulement de la cohérance des systèmes.
... Encore que depuis Gôdel ca semble moins évident !
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...à mon humble avis.
#Atil |
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| GrosRatNoir | | 127 messages postés |
| Posté le 19-06-2005 à 22:47:36
| À noter que les systèmes sans axiome du choix ne sont pas allés bien loin en math ... c'était le dada d'un courant de pensée mathématique - l'intuitionnisme - qui n'a pas produit beaucoup de mathématiques "intéressantes". Y a eu la logique intuitionniste, ainsi qu'une tentative de géométrie intuitionniste, mais pas terrible ...
Je pense en tout cas que même si on est libre de choisir des axiomes de base, ça ne signifie pas que n'importe quel choix fait naître des mathématiques riches et - ceci est important - en adéquation parfaite avec le monde naturel.
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| Atil | | | 35309 messages postés |
| Posté le 20-06-2005 à 08:27:11
| De même qu'il existe peut-être d'autres univers que le notre, reposant chacun sur des bases physiques (et mathématiques) différentes ... mais la grande majorité seraient bien moins riches et organisés que le notre. (selon la théorie des multi-univers et selon une des interprétation du principe anthropique).
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#Atil |
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| GrosRatNoir | | 127 messages postés |
| Posté le 20-06-2005 à 10:36:13
| N'ayant absolument aucune idée de l'existence ou non des autres univers, c'est un peu prématuré de dire que le notre est le plus riche, je pense ... Bien que les constantes universelles de notre univers soient réglées de manière géniale, on en sait toujours tellement peu que ...
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| Atil | | | 35309 messages postés |
| Posté le 20-06-2005 à 11:58:24
| Ce qui est bizarre c'est de voir comme les lois physiques de notre monde suivent des règles mathématiques. Et on ignore pourquoi.
Encore que notre monde s'écarte étrangement des règles mathématiques dés que celles-ci conduisent à des résultats infinis ... comme si la nature avait horreur de l'infini. Alors que le monde mathématique s'en accomodepourtant trés bien.
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...à mon humble avis.
#Atil |
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| GrosRatNoir | | 127 messages postés |
| Posté le 21-06-2005 à 11:56:44
| Oh il n'y a pas que les infinis qui sont à rejeter lorsqu'ils apparaissent dans une théorie ... disons qu'une théorie a une contrainte : elle doit correspondre à la réalité. Il y a donc une série de restrictions à faire, comme par exemple ne pas admettre d'infini. Mais il y a d'autres conditions.
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| Atil | | | 35309 messages postés |
| Posté le 21-06-2005 à 13:22:11
| Tu remarqueras que tu dis "elle doit correspondre à la réalité" et que pour cela elle ne doit pas "admettre d'infini.".
Donc il semble "évident" que la réalité n'admet pas l'infini, contrairement au monde mathématique.
Pourtant la réalité s'appuie bien sur les maths ... ou du moins sur une partie des maths.
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...à mon humble avis.
#Atil |
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| GrosRatNoir | | 127 messages postés |
| Posté le 21-06-2005 à 14:04:59
| Bien qu'il y a un lien assez étrange entre la réalité et les maths, il faudrait dire que la réalité s'appuie plutôt sur la physique (les sciences naturelles pures; les maths ne sont pas vraiment une science).
Les maths sont un outil (l'outil principal, en fait) pour la physique. Mais en tant qu'outil, les maths sont "subordonnées" aux contraintes de la physique. Il existe par exemple un principe physique : le principe de conservation de l'énergie. Dans un système isolé, son énergie reste constante.
Pour un tel système, avoir une énergie infinie à un moment donné est donc à rejeter, en vertu de ce principe. C'est un exemple où on rejette un infini qui apparaît dans l'une ou l'autre expression mathématique.
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| Atil | | | 35309 messages postés |
| Posté le 21-06-2005 à 20:39:32
| "Mais en tant qu'outil, les maths sont "subordonnées" aux contraintes de la physique. "
>>>>>>>Ne peut-on pas dire que c'est la physique qui est subordonnée aux maths (une partie des maths) ?
Je vois mal la physique exister sans les maths ... par contre les maths peuvent exister sans la physique.
Les contraintes de la physiques sont elles-mêmes calculables par les maths... ou le seront un jour.
"Il existe par exemple un principe physique : le principe de conservation de l'énergie. Dans un système isolé, son énergie reste constante."
>>>>>Cela pose des problèmes pour expliquer la "création" du monde. Comment faire apparaitre l'énergie à partir de rien sans violer ce principe ?
A moins qu'on ne fasse la supposition que l'énergie soit apparue en se séparant d'une anti-énrergie ?
"Pour un tel système, avoir une énergie infinie à un moment donné est donc à rejeter, en vertu de ce principe."
>>>>>Sauf, peut-être , lors d'une fluctuation quantique dans un laps de temps infiniment petit.
"C'est un exemple où on rejette un infini qui apparaît dans l'une ou l'autre expression mathématique. "
>>>>>>C'est plus dur à faire à l'échelle quantique.
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...à mon humble avis.
#Atil |
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| GrosRatNoir | | 127 messages postés |
| Posté le 21-06-2005 à 21:30:46
| Atil a écrit :
>>>>>>>Ne peut-on pas dire que c'est la physique qui est subordonnée aux maths (une partie des maths) ? |
L'outil est subordonné aux besoins et attentes de son utilisateur. Un résultat mathématique est filtré par les restrictions du contexte physique avant d'être accepté. De plus, même si la physique s'est développée grâce aux maths, une bonne partie des maths n'existe que grâce à la physique.
Atil a écrit :
Je vois mal la physique exister sans les maths ... par contre les maths peuvent exister sans la physique. |
Si on associe la physique avec (l'étude de) la nature, alors on pourrait dire ceci de manière différente : on voit mal la nature s'exprimer dans un langage autre que celui des maths. Quel est ce lien étrange entre eux ? Question séculaire toujours sans réponse.
Mais cela ne change pas le fait que les résultats mathématiques sont filtrés dans leur contexte physique.
Atil a écrit :
>>>>>Cela pose des problèmes pour expliquer la "création" du monde. Comment faire apparaitre l'énergie à partir de rien sans violer ce principe ? |
Rigoureusement parlant, le big bang ne dit pas que l'univers est parti "de rien". La théorie du big bang ne s'applique en fait pas à partir du "moment zéro où l'univers est apparu", mais à partir d'un certain moment T postérieur à ce moment zéro. Entre le moment zéro et T, rien ne peut se dire actuellement. Donc, la conservation de l'énergie n'est pas encore invalidée.
Atil a écrit :
>>>>>Sauf, peut-être , lors d'une fluctuation quantique dans un laps de temps infiniment petit. |
Il ne faut pas confondre "énergie" et "incertitude de l'énergie". L'incertitude de l'énergie sur des durées très courtes ne signifie pas que la conservation de l'énergie est violée, c'est juste que toute mesure de l'énergie sera très peu précise. De plus, on y introduit les particules virtuelles pour les faire "consommer" les éventuels surplus d'énergie, mais il faut bien attirer l'attention sur l'aspect virtuel (càd non réel ) de ces particules. Et la conservation de l'énergie s'applique à des systèmes considérés comme réels .
Atil a écrit :
>>>>>>C'est plus dur à faire à l'échelle quantique. |
C'est peut-être plus dur en mécanique quantique, mais de toute façon, rien n'est facile dans cette discipline. Néanmoins, l'infini mathématique y est rejeté comme partout ailleurs.
Message édité le 21-06-2005 à 21:32:09 par GrosRatNoir |
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| Atil | | | 35309 messages postés |
| Posté le 21-06-2005 à 22:35:52
| "De plus, même si la physique s'est développée grâce aux maths, une bonne partie des maths n'existe que grâce à la physique."
>>>>>>Je ne comprends pas trop.
Les maths peuvent exister de manière "pure", sans avoir besoin d'application.
Donc je ne vois pas coomment elles auraient besoin de la physique.
"Si on associe la physique avec (l'étude de) la nature, alors on pourrait dire ceci de manière différente : on voit mal la nature s'exprimer dans un langage autre que celui des maths. Quel est ce lien étrange entre eux ? Question séculaire toujours sans réponse."
>>>>>> Et je me m'interroge sur la partie des maths que la nature n'urilise pas.
Est-elle utilisée dans d'autres univers ?
"Mais cela ne change pas le fait que les résultats mathématiques sont filtrés dans leur contexte physique."
>>>>>>Il me semble que ce "filtrage" est surtout du au fait que, dans notre monde, les formules mathématiques ne s'appliquent jamais seules mais en se mélangent avec plein d'autres.
On ne peut jamais rien calculer avec une formule simple : il faut toujours tenir compte de l'influence de plein d'autres phénomènes qui se calculent avec leurs formules propres.
"Rigoureusement parlant, le big bang ne dit pas que l'univers est parti "de rien". La théorie du big bang ne s'applique en fait pas à partir du "moment zéro où l'univers est apparu", mais à partir d'un certain moment T postérieur à ce moment zéro. Entre le moment zéro et T, rien ne peut se dire actuellement. Donc, la conservation de l'énergie n'est pas encore invalidée."
>>>>>>Mais il est évident que l'esprit humain de se satisfera jamais d'une explication à l'origine du monde qui ne part pas de rien.
La question "Pourquoi existe-t-il quelque chose plutôt que rien " demande qu'on parte d'un néant total.
Si tout ne commence pas par un néant total, on se demandera légitimement, d'ou vient ce non-rien.
"Il ne faut pas confondre "énergie" et "incertitude de l'énergie". L'incertitude de l'énergie sur des durées très courtes ne signifie pas que la conservation de l'énergie est violée, c'est juste que toute mesure de l'énergie sera très peu précise. De plus, on y introduit les particules virtuelles pour les faire "consommer" les éventuels surplus d'énergie, mais il faut bien attirer l'attention sur l'aspect virtuel (càd non réel ) de ces particules. Et la conservation de l'énergie s'applique à des systèmes considérés comme réels ."
>>>>>>Les particules virtuelles n'ont de virtuel que le nom.
En fait, pour chaque fluctuation positive, on a une fluctuation négative. Donc, globalement, ca revient au même que pas de fluctuation du tout.
"C'est peut-être plus dur en mécanique quantique, mais de toute façon, rien n'est facile dans cette discipline. Néanmoins, l'infini mathématique y est rejeté comme partout ailleurs."
>>>>>>je ne pense pas qu'on y rejette vraiment quoi que ce soit car on n"y comprend rien grand chose.
Par exemple : on ignore totalement la valeur réelle de l'énergie du vide. En théorie, à cause des fluctuations quantiques, elle devrait être quasi-infinie ... mais les observations correspondraient bien mieux avec une valeur quasi-nulle.
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...à mon humble avis.
#Atil |
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